ORACLE_DATABASE > XXXXX > 基于部分明文和纠错码的里德-所罗门算法方程组求解

前提知识

QR码的纠错算法在数学上：

• 基于里德-所罗门编码（RS码）
• 运行于伽罗瓦域（\( GF(2^8) \)）

其中关于伽罗瓦域：

• 本原多项式：\( p(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1 \)（\( 100011101_2 \)）
• 本原元 \( α = 2 \)
• 域内加法：按位异或（XOR）
• 域内乘法：基于本原多项式的模运算，或者采用指数形式：\( a\cdot b=\alpha^{\log a+\log b} \)

求解过程

已知需要求解的为7个字节，即总比特数 \( 7 × 8 = 56 \) 个未知数。

• 求解结果应为二进制0或1。

生成多项式： $$g(x)=\prod_{j=0}^{9}\left(x-\alpha^{j}\right)$$ （生成规则：假设需要生成\( 2k \)个纠错码字，则连乘\( j=0 \)，终点为\( 2k-1 \)；在本例中纠错码字为10，故终点为9）